Question

【題目】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，已知對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由圖象的平移可得g（x）的解析式；

（Ⅱ）設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為在t∈[1，2]上有且僅有一個(gè)實(shí)根，通過分類討論的思想得到結(jié)果；

（Ⅲ）設(shè)，t∈（2，+∞）．問題轉(zhuǎn)化為t2﹣4at+4a＞0對(duì)任意t∈（2，+∞）恒成立，變量分離后構(gòu)造函數(shù)，可得其最小值，進(jìn)而可得答案．

試題解析：

（1）

（2）設(shè),則，原方程可化為

于是只須在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，

法1：設(shè)，對(duì)稱軸t=,則 ① ， 或 ②

由①得 ，即，

由②得 無解, ，則。

法2：由，得， ， ，

設(shè)，則， ，記，

則在上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室�使題設(shè)成立，

只須，即，

從而有

（3）設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，

由點(diǎn)在的圖像上，所以，

于是 即. .

由，化簡(jiǎn)得，設(shè),即恒成立.

注意到t﹣1＞1，分離參數(shù)得對(duì)任意t∈（2，+∞）恒成立．

設(shè), t∈（2，+∞）,即

而．

可證m（t）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

∴m（t）＞m（2）=4，

∴，即a∈（﹣∞，1]．