【題目】如圖,三棱柱中,
,
,
,且平面
⊥平面
.
(1)求三棱柱的體積.
(2)點(diǎn)在棱
上,且
與平面
所成角的余弦值為
(
),求
的長.
【答案】(1)1;(2)
【解析】
(1)在平面內(nèi)過
作
與
交于點(diǎn)
,推導(dǎo)出
平面
,利用
,解得
,由此能求出三棱柱的高,從而可得結(jié)果;(2)先利用余弦定理與等腰三角形的性質(zhì)證明
,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),以
分別為
軸,
軸,
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
,利用向量垂直數(shù)量積為零,求得平面
的法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.
(1)如圖,在平面內(nèi)過
作
與
交于點(diǎn)
,
因?yàn)槠矫?/span>平面
,且平面
平面
,
平面
,
所以平面
,所以
為
與平面
所成角,
由公式,解得
,
所以,
,
又的面積為
,所以三棱柱
的體積為
.
(2)由(1)得在中,
為
中點(diǎn),連接
,
由余弦定理得,解得
,
所以,(或者利用余弦定理求
)
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以
分別為
軸,
軸,
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
所以
設(shè)
,設(shè)平面
的法向量為
,
則,即
,不妨令
,則
,即
.
,
又因?yàn)?/span>與平面
所成角的余弦值為
,
所以
,
解得或
,
又因?yàn)?/span>,所以
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓上一點(diǎn)
關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為
,
為其右焦點(diǎn),若
,設(shè)
,且
,則該橢圓的離心率
的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率
,左焦點(diǎn)為
,右頂點(diǎn)為
,過點(diǎn)
的直線交橢圓于
兩點(diǎn),若直線
垂直于
軸時(shí),有
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線:
上兩點(diǎn)
,
關(guān)于
軸對稱,直線
與橢圓相交于點(diǎn)
(
異于點(diǎn)
),直線
與
軸相交于點(diǎn)
.若
的面積為
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以橢圓:
的中心
為圓心,
為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”,設(shè)橢圓
的左頂點(diǎn)為
,左焦點(diǎn)為
,上頂點(diǎn)為
,且滿足
,
.
(1)求橢圓及其“準(zhǔn)圓"的方程;
(2)若過點(diǎn)的直線
與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),當(dāng)
時(shí),試求直線
交“準(zhǔn)圓”所得的弦長;
(3)射線與橢圓
的“準(zhǔn)圓”交于點(diǎn)
,若過點(diǎn)
的直線
,
與橢圓
都只有一個(gè)公共點(diǎn),且與橢圓
的“準(zhǔn)圓”分別交于
,
兩點(diǎn),試問弦
是否為”準(zhǔn)圓”的直徑?若是,請給出證明:若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示將同心圓環(huán)均勻分成n()格.在內(nèi)環(huán)中固定數(shù)字1~n.問能否將數(shù)字1~n填入外環(huán)格內(nèi),使得外環(huán)旋轉(zhuǎn)任意格后有且僅有一個(gè)格中內(nèi)外環(huán)的數(shù)字相同?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=ax2+(1-a)x+a-3.
(1)若不等式f(x)≥-3對一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)解關(guān)于x的不等式f(x)<a-2(a∈R).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線
的焦點(diǎn),離心率等于
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右焦點(diǎn)
作直線
交橢圓
于
、
兩點(diǎn),交
軸于
點(diǎn),若
,
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中錯(cuò)誤的是__________(填序號)
①命題“,有
”的否定是“
”,有
”;
②已知,
,
,則
的最小值為
;
③設(shè),命題“若
,則
”的否命題是真命題;
④已知,
,若命題
為真命題,則
的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知以橢圓C:(a>b>0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形,直線x+y+1=0與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線y=x+2上,A、B在橢圓C上,若矩形ABCD的周長為,求直線AB的方程.
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