Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，且＝，過點(diǎn)F₂的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且AM⊥x軸，·＝0.

(1)求橢圓的離心率；
(2)若△ABF₁的周長為，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）（2）＝1.

(1)設(shè)F₁(－c，0)，F(xiàn)₂(c，0)，A(x₀，y₀)，橢圓的離心率為e，則M，x₀＝c.
∵＝e，∴|AF₁|＝a＋ex₀.同理，|AF₂|＝a－ex₀.
∵·＝0，∴AF₁⊥AF₂，∴|AF₁|²＋|AF₂|²＝|F₁F₂|²，
∴(a＋ex₀)²＋(a－ex₀)²＝4c^2,即a²＋e²＝2c².
∵x₀＝c，∴a²＋e²·c²＝2c^2,∴1＋e⁴＝2e²，即3e⁴－8e²＋4＝0，
∴e²＝或2(舍)，∴橢圓的離心率e＝.
(2)∵△ABF₂的周長為4，∴4a＝4，∴a＝.又＝，∴c＝2,∴b²＝2.
∴橢圓方程為＝1.