Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點(diǎn)，O為AE的中點(diǎn)，以AE為折痕將△ADE向上折起，使D到P點(diǎn)位置，且PC=PB．

（Ⅰ）求證：PO⊥面ABCE；
（Ⅱ）求二面角E-AP-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB=4，AD=2，E是CD的中點(diǎn)，O為AE的中點(diǎn)，D到折起到P點(diǎn)位置，且PC=PB，取BC的中點(diǎn)F，連OF，PF，結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)，我們易得到BC⊥面POF，PO⊥AE，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理得到答案．
（II）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面EAP和平面BAP的法向量，然后利用向量法易求出二面角E-AP-B的余弦值．

解答：解：（I）PA=PE，OA=OE∴PO⊥AE（1分）
取BC的中點(diǎn)F，連OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因?yàn)?BR>PB=PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF（3分）
從而B(niǎo)C⊥PO（5分），
又BC與PO相交，可得PO⊥面ABCE（6分）
（II）作OG∥BC交AB于G，∴OG⊥OF如圖，建立直角坐標(biāo)系[O；

OG，

OF

，

OP

]，
A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），
P（0，0，

2

）

AC

=(-2，4，0)，

AP

=(-1，1，

2

)，

AB

=(0，4，0)（7分）
設(shè)平面PAB的法向量為

n

1=(x，y，z)，

n • AP =-x+y+ 2 z=0 n • AB =4y=0

?

n

1=(

2

，0，1)
同理平面PAE的法向量為

n

2=(1，1，0)，（10分）cos＜E-AP-B＞=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

3

3

二面角E-AP-B的余弦值為

3

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，二面角的平面角及求法，其中選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，將空間點(diǎn)線面的夾角轉(zhuǎn)化為向量的夾角是解答本題的關(guān)鍵．