Question

已知點B（0，1），A，C為橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)上的兩點，△ABC是以B為直角頂點的直角三角形．
（I）當a=4時，求線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍．
（II）△ABC能否為等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個？

Answer 1

分析：（I）依題意，可知橢圓的方程為：

x2

42

+y²=1，設(shè)C（4cosθ，sinθ），可求得直線l的方程為y=-

4cosθ

sinθ-1

x+

8cos2θ

sinθ-1

+

1+sinθ

2

，令y=0得x=

15cos2θ

8cosθ

=

15

8

cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有界性即可求得線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍；
（II）當?shù)妊�直角三角形ABC的兩條腰AB與BC不關(guān)于y軸對稱時，設(shè)出AB的方程為y=kx+1（k＞0），BC的方程為y=-

1

k

x+1，利用直線與方程與橢圓方程聯(lián)立，利用等腰直角三角形ABC中的兩腰|AB|=|BC|，借助基本不等式即可求得a的取值范圍；同理可求兩條腰AB與BC關(guān)于y軸對稱時a的取值范圍．

解答：解：（I）∵a=4，
∴橢圓的方程為：

x2

42

+y²=1，故B（0，1），
設(shè)C（4cosθ，sinθ），
則BC的中點M（2cosθ，

1+sinθ

2

），
∵BC的斜率k_BC=

sinθ-1

4cosθ

，
∴線段BC的中垂線l的斜率k=-

1

kBC

=-

4cosθ

sinθ-1

，
∴直線l的方程為：y-

1+sinθ

2

=-

4cosθ

sinθ-1

（x-2cosθ），
∴y=-

4cosθ

sinθ-1

x+

8cos2θ

sinθ-1

+

1+sinθ

2

，
令y=0得：x=

15cos2θ

8cosθ

=

15

8

cosθ（cosθ≠0）
∵-1≤cosθ≤1且cosθ≠0，
∴-

15

8

≤x=

15

8

cosθ≤

15

8

且x≠0，
∴線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍為[-

15

8

，0）∪（0，

15

8

]．
（II）當?shù)妊�直角三角形ABC的兩條腰AB與BC不關(guān)于y軸對稱時，作圖如右，
設(shè)此時過B（0，1）的AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=-

1

k

x+1，
由

x2 a2 +y2=1 y=kx+1

得：（a²k²+1）x²+2a²kx=0，
設(shè)該方程兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

2a2k

a2k2+1

，x₁x₂=0，
則|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=|x₁-x₂|•

1+k2

=

1+k2

•

(x2+x1)2-4x1x2

=

1+k2

•|

2a2k

a2k2+1

|，
同理可求，|BC|=

1+ 1 k2

•|

2a2(- 1 k )

a2 k2 +1

|=

1+k2

|k|

•|

2a2k

a2+k2

|，
∵|AB|=|BC|，
∴

1+k2

•|

2a2k

a2k2+1

|=

1+k2

|k|

•|

2a2k

a2+k2

|，
約分后整理得：k³-a²k²+a²k-1=0，
即a²k（k-1）=（k-1）（k²+k+1），
當k=1時，AB的方程為y=x+1，BC的方程為y=-x+1，此時兩直線關(guān)于y軸對稱，與所設(shè)不符，故k≠1；
∴a²=

k2+k+1

k

=k+

1

k

+1≥3（當且僅當k=1時取等號），又k≠1，
∴a²＞3，
∴a＞

3

，即當a＞

3

時，如圖的不關(guān)于y軸對稱等腰直角三角形ABC存在，
又不關(guān)于y軸對稱的還有另一個，關(guān)于y軸對稱的必有一個，
因此，當a＞

3

時，以B為直角頂點的等腰三角ABC共三個．
當1＜a≤

3

時，以B為直角頂點的等腰三角ABC只有一個，此時兩腰關(guān)于y軸對稱．

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)，著重考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查直線的點斜式、截距的綜合應(yīng)用，突出考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維、創(chuàng)新思維、綜合運算能力，屬于難題．