Question

已知z為復數(shù)，z+2i和均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．
（Ⅰ）求復數(shù)z；
（Ⅱ）若復數(shù)（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出復數(shù)的代數(shù)形式，整理出z+2i和，根據(jù)兩個都是實數(shù)虛部都等于0，得到復數(shù)的代數(shù)形式．
（II）根據(jù)上一問做出的復數(shù)的結果，代入復數(shù)（z+ai）²，利用復數(shù)的加減和乘方運算，寫出代數(shù)的標準形式，根據(jù)復數(shù)對應的點在第一象限，寫出關于實部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結果．
解答：解：（Ⅰ）設復數(shù)z=a+bi（a，b∈R），
由題意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i，
∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i
對應的點在復平面的第一象限，
∴
解得a的取值范圍為2＜a＜6．
點評：本題考查復數(shù)的加減乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義，考查復數(shù)與復平面上點的對應，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題．