Question

（本小題滿分14分）

已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且．

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知圓過定點(diǎn)，圓心在軌跡上運(yùn)動，且圓與軸交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）動點(diǎn)的軌跡的方程．

（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為．

【解析】求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一 求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系，求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法．本題是利用的直接法．直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程．

（1）設(shè)，則，將向量的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系式可知結(jié)論。

∵，

∴

（2）設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則

圓的半徑為．

圓的方程為，令y=0,整理得到,然后設(shè)點(diǎn)表示長度得到結(jié)論。

（1）解：設(shè)，則，

∵，

∴． --------------------2分

即，即，

所以動點(diǎn)的軌跡的方程． --------------------4分

（2）解：設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則．           ①

圓的半徑為．

圓的方程為．

令，則，

整理得，．                             ②

由①、②解得，． --------------------6分

不妨設(shè)，，

∴，．--------------------8分

∴ 

        ，                     ③

 當(dāng)時(shí)，由③得，．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．--------------------12分

當(dāng)時(shí)，由③得，． --------------------13分

故當(dāng)時(shí)，的最大值為． --------------------14分