Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量

m

=(cosA，1)，

n

=(1，1-

3

sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求∠A的大��；（2）若b+c=

3

a，求sin(B+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）由

m

⊥

n

可得

m

•

n

=0，即cosA+1-

3

sinA=0，然后利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)求解．
（2）首先利用正弦定理化邊為角，可得2RsinB+2RsinC=

3

2RsinA，然后結(jié)合已知條件，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦公式求解即可．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=cosA+1-

3

sinA=0，
∴cos（A+

π

3

）=-

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，
∴A+

π

3

=

2π

3

，
∴A=

π

3

．
（2）∵b+c=

3

a，
∴由正弦定理得2RsinB+2RsinC=

3

2RsinA，
即sinB+sinC=

3

sinA，
又∵A=

π

3

，
∴sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

，
即

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

2

，
∴sin（B+

π

6

）=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理、兩角和與差的正弦公式、余弦公式及向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了基本運(yùn)算能力．