Question

F₁、F₂分別是雙曲線x²-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．向量在向量方向的投影是p．
（1）根據(jù)條件求出b和k滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線l的方程；
（3）當(dāng)=m，且滿足2≤m≤4時(shí)，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用條件求出圓O的方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑可得b和k滿足的關(guān)系式；
（2）先把直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與b和k之間的等式，再利用以及（1）的結(jié)論求出b和k進(jìn)而求得直線l的方程；
（3）用類似于（2）的方法求出之間的關(guān)系式，求出弦AB的長(zhǎng)，再把△AOB面積整理成關(guān)于m的函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出△AOB面積的取值范圍即可．
解答：解：（1）雙曲線x²-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，從而圓O的方程為x²+y²=2．
由于直線y=kx+b與圓O相切，
所以有．
即b²=2（k²+1），（k≠±1）為所求．（3分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由并整理得，（k²-1）x²+2kbx+（b²+1）=0，其中k²≠1．
根據(jù)韋達(dá)定理，得．（5分）
從而
=．
又由（1）知．
又由于方向上的投影為p，
所以．
即2k²+3-4k²+2k²-2=k²-1，（8分）
∴
所以直線l的方程為．（9分）
（3）類似于（2）可得，
即2k²+3-4k²+2k²-2=mk²-m，
∴．（10分）
根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得=
=．
∵
=
而2≤m≤4，
∴當(dāng)m=2時(shí)，
當(dāng)m=4時(shí)，
因此△AOB面積的取值范圍是．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)函數(shù)，向量，拋物線以及圓的綜合考查，由于知識(shí)點(diǎn)較多，是道難題．