Question

一個多面體的三視圖及直觀圖如圖所示：
（Ⅰ）求異面直線AB₁與DD₁所成角的余弦值：
（Ⅱ）試在平面ADD₁A₁中確定一個點F，使得FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2A₁B₁=2DD₁=2a，求出=（-a，a，a），=（0，0，a），利用向量的夾角公式，可得結(jié)論；
（II）由FB₁⊥平面BCC₁B₁，利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論；
（III）確定為平面BCC₁B₁的法向量，求出平面FCC₁的法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)論．
解答：解；依題意知，該多面體為底面是正方形的四棱臺，且D₁D⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a…（2分）
以D為原點，DA、DC、DD₁所在的直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（2a，0，0），B₁（a，a，a），D₁（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C₁（0，a，a）…（4分）
（Ⅰ）∵=（-a，a，a），=（0，0，a）
∴cos＜＞==
即直線AB₁與DD₁所成角的余弦值為…（6分）
（II）設(shè)F（x，0，z），∵=（-a，a，a），=（-2a，0，0），=（a-x，a，a-z）
由FB₁⊥平面BCC₁B₁得
即得
∴F（a，0，0）即F為DA的中點…（9分）
（III）由（II）知為平面BCC₁B₁的法向量．
設(shè)=（x₁，y₁，z，）為平面FCC₁的法向量．
∵=（0，-a，a），=）-a，2a，0）
∴
令y₁=1得x₁=2，z₁=1
∴=（2，1，1）
∴cos＜＞==
即二面角F-CC₁-B的余弦值為…（12分）
點評：本題考查線面垂直，考查空間角，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．