Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+2n（n=1，2，…），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2a_n-1，然后求出首項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的定義可判定數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（II）先求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，然后根據(jù)通項(xiàng)的特征可知利用分組求和法進(jìn)行求和即可．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)镾_n=2a_n-3（n=1，2，…）．，則S_n-1=2a_n-1-3（n=2，3，…）．…（1分）
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，…（3分）
整理得a_n=2a_n-1．            …（4分）
由S_n=2a_n-3，令n=1，得S₁=2a₁-3，解得a₁=3．…（5分）
所以{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．    …（6分）
（Ⅱ）解：因?yàn)?span id="esneqsu" class="MathJye">an=3•2n-1，…（7分）
由b_n=a_n+2n（n=1，2，…），得bn=3•2n-1+2n．
所以Tn=3(1+21+22+…+2n-1)+2(1+2+3+…+n)…（9分）
=3

1(1-2n)

1-2

+2•

n(n+1)

2

…（11分）
=3•2ⁿ+n²+n-3
所以Tn=3•2n+n2+n-3．   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的判定，以及利用分組求和法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．