Question

【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點處的切線方程為（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，再由，解得.最后求出導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變號規(guī)律，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間，（2）先分離，再求函數(shù)最大值，即得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為.

.

依題意得， ，即

所以.

所以， .

當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）設(shè)函數(shù)，故對任意，不等式恒成立.

又，當(dāng)，即恒成立時，

函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，則，

所以，即，符合題意；

當(dāng)時， 恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增.

于是，不等式對任意恒成立，不符合題意；

當(dāng)時，設(shè)，

則 ；

當(dāng)時， ，此時單調(diào)遞增，

所以 ，

故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)時， 成立，不符合題意；

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為： .