Question

（本小題共14分）

已知橢圓C：，左焦點(diǎn)，且離心率

(Ⅰ）求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)（不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A.   求證：直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為 

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）由題意可知：   ……1分

解得                  ………2分

所以橢圓的方程為：                         ……3分

（II）證明：由方程組   …4分

整理得                         ………..5分

設(shè)

則             …….6分

由已知，且橢圓的右頂點(diǎn)為         ………7分

                  ………    8分   

即

也即  …… 10分

整理得：                       ……11分

解得均滿足                       ……12分

當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn)（2，0）與題意矛盾舍去……13分

當(dāng)時，直線的方程為,過定點(diǎn)    

故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為                          …….14分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)橢圓的性質(zhì)來得到橢圓的方程，同時能結(jié)合聯(lián)立方程組的思想來，韋達(dá)定理和垂直關(guān)系，得到直線方程，進(jìn)而求解。屬于基礎(chǔ)題。