Question

（2014•廣東模擬）某電視臺(tái)舉行電視奧運(yùn)知識(shí)大獎(jiǎng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分．為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰．已知選手甲答題的正確率為

2

3

．
（Ⅰ）求選手甲可進(jìn)入決賽的概率；
（Ⅱ）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，故可分為三類：一類是三題全對(duì)；一類是答4題，前3題錯(cuò)一題，第4題答對(duì)；一類是答5題，前4題錯(cuò)兩題，第5題答對(duì)，故可求求選手甲可進(jìn)入決賽的概率；
（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式分別求出相應(yīng)的概率，從而得出ξ的分布列，進(jìn)而可求概率．

解答：解：（Ⅰ）  選手甲答3道題可進(jìn)入決賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

；  …1分
選手甲答4道題可進(jìn)入決賽的概率為

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

；…3分
選手甲答5道題可進(jìn)入決賽的概率為

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

16

81

； …5分
∴選手甲可進(jìn)入決賽的概率p=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．        …7分
（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．則有p(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，p(ξ=4)=

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

，p(ξ=5)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，…10分
因此，有

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3•

1

3

+4•

10

27

+5•

8

27

=

107

27

=3

26

27

．          …12分．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的期望與方差，主要考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，本題是一個(gè)綜合題目，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，在應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式時(shí)，注意數(shù)字運(yùn)算不要出錯(cuò)．