Question

（1）試用ε-δ語言敘述“函數(shù)f（x）在點x=x₀處連續(xù)的定義；
（2）試證明：若f（x）在點x=x₀處連續(xù)，且f（x₀）＞0，則存在一個x₀的（x₀-δ，x₀+δ），在這個鄰域內(nèi)，處處有f（x）＞0．

Answer 1

解：（1）若對于任給的正數(shù)ε，總存在某一正數(shù)δ，使得當|x-x₀|＜δ時，
總有|f（x）-f（x₀）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）在點x₀處連續(xù)；
（2）證：由已知f（x）在點x=x₀處連續(xù)，
且f（x₀）＞0，
所以，由定義，對于給定的ε=＞0，
必存在δ＞0，當|x-x₀|＜δ時，
有|f（x）-f（x₀）|＜，
從而f（x）＞f（x₀）-=＞0
即在（x₀-δ，x₀+δ）內(nèi)處處有f（x）＞0．
分析：（1）因為函數(shù)的連續(xù)性是用極限來定義的，因而可用ε-δ的方式來描述；
（2）因為f（x）在點x=x₀處連續(xù)，利用（1）中的定義找ε=＞0，則有|f（x）-f（x₀）|＜，即可得到f（x）處處大于0．
點評：考查學生會用ε-δ語言敘述函數(shù)連續(xù)定義，并運用ε-δ語言描述的連續(xù)定義解決實際問題．解題時要正確理解函數(shù)的連續(xù)性．