Question

已知曲線C上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數(shù)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）以曲線c的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與曲線C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N，求•的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用條件，建立方程，化簡(jiǎn)，即可求曲線c的軌跡方程；
（2）用坐標(biāo)表示出向量的數(shù)量積，再用配方法求最值，求出M的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)榍�線C上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數(shù)
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0．
由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以．
由已知T（-2，0），則=（x₁+2，y₁），=（x₁+2，-y₁），
∴•=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+）²-．
由于-2＜x₁＜2，故當(dāng)x₁=-時(shí)，•取得最小值為-．
此時(shí)，y₁=，故M（-），
又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到．
故圓T的方程為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積公式，考查配方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．