Question

已知兩定點(diǎn)F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，滿足條件|

PF

2|-|

PF

1|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A，B兩點(diǎn) 如果|

AB

|=6

3

，且曲線E上存在點(diǎn)C，使

OA

+

OB

=m

OC

，求m的值．

Answer 1

分析：由雙曲線的定義可知曲線E的方程，將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理可確定k的范圍，利用弦長公式，可求k的值，根據(jù)

OA

+

OB

=m

OC

，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，即可得到結(jié)論．

解答：解：由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且c=

2

，a=1，
所以b=1．
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx-1 x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
由已知得，

△=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1•x2= -2 1-k2 ＞0

，解得-

2

＜k＜-1．
∵|AB|=

(1+k2)[( -2k 1-k2 )2-4• -2 1-k2

=2

(1+k2)× 2-k2 (1-k2)2

=6

3

．
即28k⁴-55k²+25=0，∴k2=

5

7

或k2=

5

4

．
又∵-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

．
故x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8．
設(shè)C（x_c，y_c），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c），且m≠0．
∴

xc= x1+x2 m = -4 5 m yc= y1+y2 m = 8 m

，即C（

-4 5

m

，

8

m

）．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1，∴m=±4．
但當(dāng)m=-4時(shí)，點(diǎn)C不在曲線E上，不合題意．
∴m=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查弦長公式的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題．