Question

 （本小題滿分13分）如圖所示，已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切.過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn).

（1）求圓的方程;

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.

（3）是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) .（2）或.

（3）是定值，且.

【解析】(I)由點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑，然后可寫(xiě)出圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）討論直線l斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為,然后利用,

可建立關(guān)于k的方程，求出k值.

(3)根據(jù)向量垂直的充要條件可知即=.然后再利用向量的坐標(biāo)表示，證明是定值.再證明時(shí)要注意對(duì)直線斜率k分存在與不存在兩種情況討論.

解：(1)設(shè)圓的半徑為.圓與直線相切,

.

圓的方程為. ……………………………4分

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；…………………5分

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，

.

由，得.

直線的方程為.

所求直線的方程為或.………………………9分

（3）.

=.

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，得，則又,

.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由解得.

.

.

綜上所述，是定值，且.…………………13分