Question

提高二環(huán)路的車輛通行能力可有效改善整個(gè)城區(qū)的交通狀況，在一般情況下，二環(huán)路上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)二環(huán)路上的車流密度達(dá)到600輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過60輛/千米時(shí)，車流速度為80千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)60≤x≤600時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤600時(shí)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過二環(huán)路上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時(shí)）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在60≤x≤600時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（II）先在區(qū)間（0，60]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，得最大值為f（60）=4800，然后在區(qū)間[60，600]用基本不等式求出函數(shù)f（x）的最大值，用基本不等式取等號(hào)的條件求出相應(yīng)的x值，兩個(gè)區(qū)間內(nèi)較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間（0，600]上的最大值．

解答：解：由題意：當(dāng)0≤x≤60時(shí)，v（x）=80；當(dāng)60＜x≤600時(shí)，設(shè)v（x）=ax+b
再由已知得

600a+b=0 60a+b=60

，解之得

a=- 4 27 b= 800 9

故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為v（x）=

80x，    0≤x＜60 4 27 (600-x)，    60≤x≤600

（II）依題并由（I）可得f（x）=

80x，    0≤x＜60 4 27 (600-x)，    60≤x≤600

當(dāng)0≤x＜60時(shí)，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=600時(shí)，其最大值為60×80=4800
當(dāng)60≤x≤600時(shí)，f（x）=

4

27

x（600-x）≤

4

27

[

x+(600-x)

2

]²=

40000

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=600-x，即x=300時(shí)，等號(hào)成立．
所以，當(dāng)x=300時(shí)，f（x）在區(qū)間（60，600]上取得最大值

40000

3

．
綜上所述，當(dāng)x=300時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，600]上取得最大值為

40000

3

≈13333，
即當(dāng)車流密度為300輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為13333輛/小時(shí)．
答：（I） 函數(shù)v（x）的表達(dá)式v（x）=

80x，    0≤x＜60 4 27 (600-x)，    60≤x≤600

（II） 當(dāng)車流密度為300輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為13333輛/小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出車流密度的實(shí)際問題，求車流量的最大值及相應(yīng)的車流密度，著重考查了函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．