Question

設(shè)f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若對于區(qū)間[3，4]上的每一個x值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，求實數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，我們可得f（-x）=-f（x），結(jié)合已知中f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

，可以構(gòu)造一個關(guān)于a的方程，解方程即可求出a的值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（

1

2

）^x，判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間[3，4]上的單調(diào)性，并求出函數(shù)g（x）在區(qū)間[3，4]上的最小值，進而得到滿足條件的實數(shù)m取值范圍．

解答：解：（1）f（-x）=-f（x），log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

，可得

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

?（a²-1）x²=0?a=±1
 a=1時舍去，故a=-1
 （2）f（x）=log

1

2

(1+

2

x-1

)  
構(gòu)造g（x）=f（x）-（

1

2

）^x=log

1

2

(1+

2

x-1

)-（

1

2

）^x
易得g（x）在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞增
∴g（x）≥g（3）=-

9

8

m＜-

9

8

∴m∈（-∞，-

9

8

）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，及奇函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出a值，進而得到函數(shù)f（x）的解析式是解答本題的關(guān)鍵．