Question

（2011•溫州二模）如圖多面體ABCDEF，AB∥CD∥EF  FD丄面ABCD BC=AD=AB=2，EF=3，DC=4，F(xiàn)D=1
（I）若G是BC的中點(diǎn)，求證：EG∥平面AFD；
（II）求直線EC與平面BDF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）取AD的中點(diǎn)H，先利用平行公理及梯形中位線定理證明四邊形EFGH為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明EG∥平面AFD
（II）先作出這個(gè)線面角的平面角，即過F作FM∥EC，過M作MN⊥BD，垂足為N，連接FN，再利用線面垂直的判定定理證明
MN⊥面BDF，從而證明∠MFN就是EC與面BDF所成的角，最后在直角三角形中計(jì)算此角的正切值即可

解答：解：（I）證明：取AD的中點(diǎn)H，連接FH，GH，因?yàn)镚H∥DC∥EF，GH=EF=3，所以四邊形EFGH為平行四邊形
故有EG∥FH，
又EG?平面ADE，F(xiàn)H?平面ADE
所以EG∥平面AFD
（II）解：過F作FM∥EC，過M作MN⊥BD，垂足為N，連接FN，
因?yàn)镕D⊥面ABCD，所以FD⊥MN，BD∩FD=D
所以MN⊥面BDF，
所以∠MFN就是EC與面BDF所成的角
過B作BO⊥DC，垂足為O，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形
所以O(shè)C=1，BO=

3

，DO=3，DM=1，BD=2

3

因?yàn)椤鱀BO∽△DMN
所以MN=

DM×BO

BD

=

1

2

在Rt△FDM中，F(xiàn)M=

2

所以在Rt△FNM中，F(xiàn)N=

7

2

所以tan∠MFN=

MN

FN

=

7

7

故直線EC與平面BDF所成角的正切值為

7

7

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面平行的判定，平行公理，線面垂直的判定，以及線面角的作法、證法、算法，體現(xiàn)了將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法，解題時(shí)要辨清線面關(guān)系，避免想當(dāng)然思想和運(yùn)算錯(cuò)誤