Question

已知函數(shù)f(x)=(

1+x

+

1-x

+2)(

1-x2

+1)．
（Ⅰ）設(shè)t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范圍；
（Ⅱ）關(guān)于x的方程f（x）-m=0，x∈[0，1]，存在這樣的m值，使得對(duì)每一個(gè)確定的m，方程都有唯一解，求所有滿足條件的m．
（Ⅲ）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，存在正數(shù)β，使得不等式

f(x)

1-x2 +1

-4≤-

xα

β

成立的最小正數(shù)α=2，并求此時(shí)的最小正數(shù)β．

Answer 1

分析：（Ⅰ）兩邊平方，借助于函數(shù)定義域x∈[-1，1]，求得t 的取值范圍是[

2

 ， 2]；（Ⅱ）只需要求出函數(shù)x∈[0，1]的值域即可知m值的范圍；（Ⅲ）將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為

-2x2

f(x)

≤-

xα

β

恒成立，∴β≥(

f(x)

2x2-α

)max=(

f(x)

2

)max=4，從而求出最小正數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)定義域x∈[-1，1]，t2=2+2

1-x2

，∵t≥0，∴

2

≤t≤2，即t 的取值范圍是[

2

 ， 2] （Ⅱ）f(x)=(

1+x

+

1-x

+2)(

1-x2

+1)，由（Ⅰ）f(x)=g(t)=

t3

2

+t2，t∈[

2

，2]，g（t） 在[

2

，2] 單調(diào)遞增，所以f(x)∈[2+

2

，8]．設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，則1-x₁²≠1-x₂²，即

1+x1

+

1- x   1

≠

1+x2

+

1- x   2

，即t₁≠t₂．故存在m，使得對(duì)每一個(gè) m∈[2+

2

，8]，方程都有唯一解x₀∈[0，1]．
（Ⅲ）

f(x)

1-x2 +1

-4=

1+x

+

1-x

-2=

( 1+x + 1-x -2)( 1+x + 1-x +2)

( 1+x + 1-x +2)

=

2( 1-x2 -1)

( 1+x + 1-x +2)

=

-2x2

f(x)

≤-

x2

4

．以下證明，對(duì)0＜α0，不等式

f(x)

1-x2

-4 ≤-

xα

β

（0≤x≤1）不成立．反之，由

-2x2

f(x)

≤-

xα

β

，亦即x^2-α ≥

f(x)

2β

成立，因?yàn)?-α＞0，x=0，0≥

f(0)

2β

，但f（0）=8，這是不可能的．這說(shuō)明α=2 是滿足條件的最小正數(shù)．這樣，不等式

f(x)

1-x2 +1

-4 ≤-

xα

β

（x∈[0，1]） 恒成立，即

-2x2

f(x)

≤-

xα

β

恒成立，∴β≥(

f(x)

2x2-α

)max=(

f(x)

2

)max=4，最小正數(shù)β=4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及分類討論的思想，解題的關(guān)鍵是對(duì)于恒成立的理解，是一道綜合題