Question

 (本小題14分)  如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成的角的余弦值；

（Ⅲ）求二面角的大小余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在中，由題設可得

于是.在矩形中，.又，

所以平面．

（Ⅱ）解：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.

在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，故．

所以異面直線與所成的角的余弦值為．

（Ⅲ）解：過點P做于H，過點H做于E，連結PE

因為平面，平面，所以.又，

因而平面，故HE為PE再平面ABCD內的射影.由三垂線定理可知，

，從而是二面角的平面角。

由題設可得，

于是在中，，所以二面角的余弦值為．