Question

設(shè)向量

s

=（x+1，y），

t

=（y，x-1），（x，y∈R）滿足|

s

|+|

t

|=2

2

，已知定點(diǎn)A（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）
（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過原點(diǎn)O作直線l交軌跡C于兩點(diǎn)M，N，若，試求△MAN的面積．
（3）過原點(diǎn)O作直線l與直線x=2交于D點(diǎn)，過點(diǎn)A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點(diǎn)G，H（不妨設(shè)點(diǎn)G在直線OD上方），試判斷線段OG的長(zhǎng)度是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由|

s

|+|

t

|=2

2

，知

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程．
（2）點(diǎn)A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，連接BM，BN，由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形AMBN是平行四邊形，所以∠AMB=π-∠MAN=

π

3

，設(shè)MA=r₁，MB=r₂，由橢圓定義知r₁²+r₂²+2r₁r₂=8．在△AMB中，由余弦定理知r12+r2 2-2r1r2cos

π

3

=4，所以r1r2=

4

3

，由此得S△MAN=

1

2

r1r2sin

π

3

=

3

3

．
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)D（2，y₀），則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y₀）=0，直線GA：2x+y₀y-2=0，由此得G的軌跡方程是x²+y²=2，從而得到OG=

2

（定值）．

解答：解：（1）∵

s

=（x+1，y），

t

=（y，x-1），（x，y∈R）滿足|

s

|+|

t

|=2

2

，
∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，
∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程是以（±1，0）為焦點(diǎn)，以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

2

，短軸長(zhǎng)為2的橢圓，
∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）∵點(diǎn)A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，連接BM，BN，
由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形AMBN是平行四邊形，
∴∠AMB=π-∠MAN=

π

3

，
設(shè)MA=r₁，MB=r₂，
由橢圓定義知r1+r2=2

2

，即r₁²+r₂²+2r₁r₂=8，
在△AMB中，由余弦定理知r12+r2 2-2r1r2cos

π

3

=4，
兩式作差，得r1r2=

4

3

，
∴S△MAN=

1

2

r1r2sin

π

3

=

3

3

．
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)D（2，y₀），
則以O(shè)D為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y₀）=0，①
直線GA：2x+y₀y-2=0，②
由①②聯(lián)立消去y₀得G的軌跡方程是x²+y²=2，
∴OG=

2

（定值）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．