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        1. 已知函數(shù)f(x)=-
          1
          3
          x3+bx2-3a2x(a≠0)
          在x=a處取得極值.
          (Ⅰ)求
          b
          a
          ;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=2x3-3af′(x)-6a3,如果g(x)在開區(qū)間(0,1)上存在極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)先求導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f'(a)=0,可求出
          b
          a
          的值;
          (2)將b用a表示,可求出函數(shù)g(x)的解析式,討論a的正負(fù),分別求出函數(shù)的極值點(diǎn),使極值點(diǎn)在開區(qū)間(0,1)上,建立不等式關(guān)系,解之即可.
          解答:解(1)f'(x)=-x2+2bx-3a2
          由題意知f'(a)=-a2+2ba-3a2=0則b=2a
          b
          a
          =2

          (2)由已知可得g(x)=2x3+3ax2-12a2x+3a3
          則g'(x)=6x2+6ax-12a2=6(x-a)(x+2a)
          令g'(x)=0,得x=a或x=-2a
          若a>0,當(dāng)x<-2a或x>a時(shí),g'(x)>0;
          當(dāng)-2a<x<a時(shí),g'(x)<0
          所以當(dāng)x=a時(shí),g(x)有極小值,
          ∴0<a<1
          若a<0,當(dāng)x<a或x>-2a時(shí),g'(x)>0;
          當(dāng)a<x<-2a時(shí),g'(x)<0
          所以當(dāng)x=-2a時(shí),g(x)有極小值,
          ∴0<-2a<1即-
          1
          2
          <a<0

          所以當(dāng)-
          1
          2
          <a<0
          或0<a<1時(shí),g(x)在開區(qū)間(0,1)上存在極小值.
          點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,以及利用導(dǎo)數(shù)法求極值,同時(shí)考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          3x+5,(x≤0)
          x+5,(0<x≤1)
          -2x+8,(x>1)
          ,
          求(1)f(
          1
          π
          ),f[f(-1)]
          的值;
          (2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
          (1-3a)x+10ax≤7
          ax-7x>7.
          是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
          A、(
          1
          3
          ,1)
          B、(
          1
          3
          1
          2
          ]
          C、(
          1
          3
          ,
          6
          11
          ]
          D、[
          6
          11
          ,1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          |x-1|-a
          1-x2
          是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          2x-2-x2x+2-x

          (1)求f(x)的定義域與值域;
          (2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
          (3)研究f(x)的單調(diào)性.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          x-1x+a
          +ln(x+1)
          ,其中實(shí)數(shù)a≠1.
          (1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
          (2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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          同步練習(xí)冊答案