Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a處取得極值．
（Ⅰ）求

b

a

；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=2x³-3af′（x）-6a³，如果g（x）在開區(qū)間（0，1）上存在極小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f'（a）=0，可求出

b

a

的值；
（2）將b用a表示，可求出函數(shù)g（x）的解析式，討論a的正負，分別求出函數(shù)的極值點，使極值點在開區(qū)間（0，1）上，建立不等式關(guān)系，解之即可．

解答：解（1）f'（x）=-x²+2bx-3a²
由題意知f'（a）=-a²+2ba-3a²=0則b=2a
∴

b

a

=2
（2）由已知可得g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³
則g'（x）=6x²+6ax-12a²=6（x-a）（x+2a）
令g'（x）=0，得x=a或x=-2a
若a＞0，當(dāng)x＜-2a或x＞a時，g'（x）＞0；
當(dāng)-2a＜x＜a時，g'（x）＜0
所以當(dāng)x=a時，g（x）有極小值，
∴0＜a＜1
若a＜0，當(dāng)x＜a或x＞-2a時，g'（x）＞0；
當(dāng)a＜x＜-2a時，g'（x）＜0
所以當(dāng)x=-2a時，g（x）有極小值，
∴0＜-2a＜1即-

1

2

＜a＜0
所以當(dāng)-

1

2

＜a＜0或0＜a＜1時，g（x）在開區(qū)間（0，1）上存在極小值．

點評：本題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件，以及利用導(dǎo)數(shù)法求極值，同時考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．