Question

（2008•成都二模）如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥側(cè)面ABB₁A₁，AC=AB=

2

，∠CAA₁=∠BAA₁=135°．
（1）求∠BAC的大��；
（2）若底面△ABC的重心為G，側(cè)棱AA₁=4，求GC₁與平面A₁B₁C₁所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）作CO⊥AA₁交AA₁的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，連接BO，則CO⊥平面ABB₁A₁，先證△OAC≌△BAO，則BO⊥AA₁，根據(jù)公式cos∠CAB=cos∠OAC•cos∠OAB可求出∠CAB的大小；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OA、OC分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出向量

GC1

和平面A₁B₁C₁的法向量

n

，然后根據(jù)cos＜

n

，

GC1

＞=

n • GC1

| n |•| GC1 |

，從而求出GC₁與平面A₁B₁C₁所成角的大小．

解答：解：作CO⊥AA₁交AA₁的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，連接BO，則CO⊥平面ABB₁A₁
根據(jù)△OAC≌△BAO，所以BO⊥AA₁，
（1）由cos∠CAB=cos∠OAC•cos∠OAB
知cos∠CAB=coa²45°=

1

2

∴∠CAB=60°
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz
則A（0，1，0），B（1，0，0），C（0，0，1）
∴G（

1

3

，

1

3

，

1

3

），B₁（1，4，0），A₁（0，5，0），C₁（0，4，1）
∴

GC1

=（-

1

3

，

11

3

，

2

3

）
設(shè)平面A₁B₁C₁的法向量為

n

=（x，y，z）
由

n • A1B1 =x-y=0 n • A1C1 =-y+z=0

⇒x=y=z
取n=（1，1，1）
∵cos＜

n

，

GC1

＞=

n • GC1

| n |•| GC1 |

=

- 1 3 + 11 3 + 2 3

3 • 14

=

2 42

21

∴GC₁與平面A₁B₁C₁所成角的大小為

π

2

-arccos

2 42

21

，即arcsin

2 42

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角，同時(shí)考查了計(jì)算能力和論證推理的能力，屬于中檔題．