Question

【題目】過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若且中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，所得的兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)．求的面積的最小值及此時(shí)的直線(xiàn)的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最小值，此時(shí)直線(xiàn)方程為．

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得的方程，聯(lián)立方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式，可得，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而得到的面積的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值以及直線(xiàn)方程．

（Ⅰ）設(shè)，

且，

，

則拋物線(xiàn)方程為，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，

依題意，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，

故其斜率存在，設(shè)，

由消得恒成立，

，

，

，

．

（Ⅱ）設(shè)，

由得，

，

直線(xiàn)的方程為，

即，①

同理直線(xiàn)的方程為，②

設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，

由消得，

，

由①-②得，

而，故有，

由①+②得，

即點(diǎn)，

，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

，

，

當(dāng)，即時(shí)，有最小值，

此時(shí)直線(xiàn)方程為．