Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-1，則x∈[-4，0]時(shí)f（x）的表達(dá)式f（x）=

 

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Answer 1

分析：利用函數(shù)的周期性解決本題．關(guān)鍵要得出函數(shù)在一個(gè)周期上的解析式，然后將這個(gè)區(qū)間上的解析式轉(zhuǎn)化到所求的區(qū)間．注意奇偶性的應(yīng)用．

解答：解：函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），
得出f（x+4）=f（x+2+2）=f（2-x-2）=f（-x）=f（x），
故該函數(shù)是周期為4的函數(shù)．
由于該函數(shù)又是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-1，
故當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=f（-x）=-2x-1，
當(dāng)x∈[-4，-2]時(shí)，x+4∈[0，2]，因此f（x）=f（x+4）=2（x+4）-1=2x+7，
因此，x∈[-4，0]時(shí)f（x）的表達(dá)式f（x）=

2x+7(-4≤x≤-2) -2x-1(-2＜x≤0)

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故答案為：

2x+7(-4≤x≤-2) -2x-1(-2＜x≤0)

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點(diǎn)評：本題考查函數(shù)周期性和奇偶性的關(guān)系，考查函數(shù)周期性的確定，考查利用函數(shù)奇偶性寫函數(shù)的解析式，考查分段函數(shù)求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．