Question

【題目】某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路，和山區(qū)邊界的直線型公路，以，所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設公路與曲線相切于點.

（1）設公路交軸，軸分別為兩點，若公路的斜率為-1，求的長；

（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設切點，求導得到，解得，得到，，解得答案.

（2）根據(jù)均值不等式得到的最小值為，根據(jù)余弦定理得到，根據(jù)正弦定理得到，利用勾股定理得到答案.

（1）設切點，則，則，取，

解得或（舍去），故，直線，

故，，故.

（2）設切點，，，則切線方程為，

解得，，故，

當時等號成立，故的最小值為.

在中，根據(jù)余弦定理：，

故，

根據(jù)正弦定理：，解得，.

故，根據(jù)勾股定理：，故.