Question

已知直線x+y=1過(guò)拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)T（﹣1，0）作直線l與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)若在x軸上存在一點(diǎn)E（x₀，0），使得△ABE是等邊三角形，求x₀的值．

Answer 1

解：（1）直線x+y=1與x軸交于（1，0）
∵直線x+y=1過(guò)拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），故p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)直線l：y=k（x+1）（k≠0）
代入y²=4x（x＞0），
消元可得k²x²+2（k²﹣2）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，x₁x₂=1，
∴AB的中點(diǎn)為，
∴線段AB的垂直平分線方程為，
令y=0，得
∵△ABE是等邊三角形，
∴點(diǎn)E到直線l的距離為，
∵點(diǎn)E到直線l的距離為，，
∴
∴
∴．