Question

（2013•青島一模）已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）在區(qū)間[0，

π

3

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

3

，

2π

3

]上單調(diào)遞減．
（Ⅰ）證明：b+c=2a；
（Ⅱ）若f(

π

9

)=cosA，證明：△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過已知表達式，去分母化簡，利用兩角和與差的三角函數(shù)，化簡表達式通過正弦定理直接推出b+c=2a；
（Ⅱ）利用函數(shù)的周期求出ω，通過f(

π

9

)=cosA，求出的值，利用余弦定理說明三角形是正三角形，即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）由題意知：由題意知：

2π

ω

=

4π

3

，解得：ω=

3

2

，…（8分）
因為f(

π

9

)=sin

π

6

=

1

2

=cosA，A∈（0，π），所以A=

π

3

…（9分）
由余弦定理知：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

…（10分）
所以b²+c²-a²=bc因為b+c=2a，所以b2+c2-(

b+c

2

)2=bc，
即：b²+c²-2bc=0所以b=c…（11分）
又A=

π

3

，所以△ABC為等邊三角形．…（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力．