Question

（2012•株洲模擬）給定an=logn+1(n+2)(n∈N*)，使a1•a2…ak為整數(shù)的k（k∈N^*）叫做希望數(shù)，則區(qū)間[1，2012]內(nèi)的所有希望數(shù)的和為

2026

．

Answer 1

分析：可利用對(duì)數(shù)換底公式將a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），轉(zhuǎn)化為a_n=

lg(n+2)

lg(n+1)

，從而可求得第一個(gè)希望數(shù)為2，
第二個(gè)希望數(shù)為6，…第k個(gè)希望數(shù)為2^k-2，利用數(shù)列的分組求和法即可求得答案．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）=

lg(n+2)

lg(n+1)

，
∴a₁•a₂=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

=2，即第一個(gè)希望數(shù)為2=2²-2，
又a₁•a₂…a₆=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

…

lg8

lg7

=3，
∴第二個(gè)希望數(shù)為6=2³-2，
…
∴第k個(gè)希望數(shù)為2^k+1-2，
∵2¹⁰=1024＜2012，2¹¹=2048＞2012，
∴區(qū)間[1，2012]內(nèi)的所有希望數(shù)的和
S=（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=

4(1-29)

1-2

-18
=2¹¹-22
=2048-22
=2026．
故答案為：2026．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查對(duì)數(shù)的換底公式的應(yīng)用與數(shù)列的分組求和法的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，有一定難度，屬于中檔題．