Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為 F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，動(dòng)點(diǎn)P到F₁，F(xiàn)₂的距離的平方和為6．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若，，Q為橢圓上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線DM•CN，BQ分別交直線m于點(diǎn)M，N．
（i）當(dāng)直線AQ的斜率為時(shí)，求△AMN的面積；
（ii）求證：對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)Q，DM•CN為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用動(dòng)點(diǎn)P到F₁，F(xiàn)₂的距離的平方和為6，建立方程，化簡(jiǎn)可得P的軌跡方程；
（2）確定橢圓的方程，求出M、N的坐標(biāo)，（ i）當(dāng)直線AQ的斜率為時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，表示出三角形的面積，即可求△AMN的面積；（ii）表示出DM，CN，計(jì)算DM•CN，可得定值．
解答：（1）解：設(shè)P（x，y），則，
即（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=6，整理得，x²+y²=2，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=2．…（4分）
（2）解：由題意知，，解得，
所以橢圓方程為．  …（6分）
則，，設(shè)Q（x，y），y＞0，則，
直線AQ的方程為，令，得，
直線BQ的方程為，令，得，
（ i）當(dāng)直線AQ的斜率為時(shí)，有，消去x并整理得，，解得或y=0（舍），…（10分）
所以△AMN的面積==．   …（12分）
（ii），，
所以．
所以對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)Q，DM•CN為定值，該定值為．    …（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．