Question

【題目】已知定點(diǎn)A（﹣1，1），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C：y2=﹣8x上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)．
（1）求|PA|+|PF|最小值；
（2）求以A為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為l，所以l的方程為x=2，

設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，垂足為E．由拋物線的定義知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，

當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線時(shí)最小，|PA|+|PF|最小值為3．

（2）解：設(shè)以A為中點(diǎn)的弦所在的直線交拋物線C于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，

所以x1+x2=﹣2，y1+y2=2，

又因?yàn)镸，N在拋物線C上，

則有y12=﹣8x1，y22=﹣8x2，做差化簡得 kMN=﹣4

又直線MN過點(diǎn)A（﹣1，1），所以有y﹣1=﹣4（x+1），

即以A為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為4x+y+3=0．

【解析】（1）利用拋物線的定義知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線時(shí)最小，|PA|+|PF|取得最小值；（2）利用點(diǎn)差法，求斜率，即可求以A為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．