Question

(本大題滿分13分)如圖，現(xiàn)有一塊半徑為2m，圓心角為的扇形鐵皮，欲從其中裁剪出一塊內接五邊形，使點在弧上，點分別在半徑和上，四邊形是矩形，點在弧上，點在線段上，四邊形是直角梯形．現(xiàn)有如下裁剪方案：先使矩形的面積達到最大，在此前提下，再使直角梯形的面積也達到最大.
（Ⅰ）設,當矩形的面積最大時，求的值；
（Ⅱ）求按這種裁剪方法的原材料利用率．

Answer 1

解：（Ⅰ）先求矩形面積的最大值：
設，，則，
，∴當，即時，
此時，， ……………………6分
（Ⅱ）過Q點作垂足為S，設
在中，有，
則，
∴
……… 8分
令，∵，∴，
此時，則，
當時，的最大值為  ………………………… 10分
∴方案裁剪出內接五邊形面積最大值為   ，即利用率=……12分

略