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        <strong id="o5kww"><u id="o5kww"></u></strong>
        1. 已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=x3+f ′(
          2
          3
          )x2-x+C
          (其中f ′(
          2
          3
          )
          為f(x)在點x=
          2
          3
          處的導(dǎo)數(shù),C為常數(shù)).
          (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)若方程f(x)=0有且只有兩個不等的實數(shù)根,求常數(shù)C.
          分析:(1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),然后將x=
          2
          3
          代入即可求出f'(
          2
          3
          ),從而求出f(x)的解析式,求出f′(x)=0的值,再討論滿足f′(x)=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況,來確單調(diào)區(qū)間;
          (2)根據(jù)第一問可求出函數(shù)f(x)的極大值與極小值,方程f(x)=0有且只有兩個不等的實數(shù)根,等價于[f(x)]極大值=0或[f(x)]極小值=0,即可求出常數(shù)C的值.
          解答:解:(1)由f(x)=x3+f ′(
          2
          3
          )x2-x+C
          ,得f ′(x)=3x2+2f ′(
          2
          3
          )x-1

          x=
          2
          3
          ,得f ′(
          2
          3
          )=3×(
          2
          3
          )2+2f ′(
          2
          3
          )×(
          2
          3
          )-1
          ,解之,得f ′(
          2
          3
          )=-1
          ,
          ∴f(x)=x3-x2-x+C.(2分)
          從而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+
          1
          3
          )(x-1)
          ,
          列表如下:
          精英家教網(wǎng)
          ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞ , -
          1
          3
          )
          和(1,+∞);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-
          1
          3
           , 1)

          (2)由(1)知,[f(x)]極大值=f(-
          1
          3
          )=(-
          1
          3
          )3-(-
          1
          3
          )2-(-
          1
          3
          )+C=
          5
          27
          +C
          ;
          [f(x)]極小值=f(1)=13-12-1+C=-1+C.
          ∴方程f(x)=0有且只有兩個不等的實數(shù)根,等價于[f(x)]極大值=0或[f(x)]極小值=0.
          ∴常數(shù)C=-
          5
          27
          或C=1.
          點評:本題主要考查了函數(shù)的極值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查計算能力和分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y),(x,y∈R)且f(1)=
          1
          2

          (1)若n∈N*時,求f(n)的表達(dá)式;
          (2)設(shè)bn=
          nf(n+1)
          f(n)
            (n∈N*)
          ,sn=b1+b2+…+bn,求
          1
          s1
          +
          1
          s2
          +…+
          1
          sn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x) 滿足f(x+4)=x3+2,則f-1(1)等于(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(0)-e-x=-1,函數(shù)g(x)=-λlnf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
          (1)當(dāng)x≥0時,曲線y=f(x)在點M(t,f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t),求S(t)的最大值;
          (2)若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]時恒成立,求t的取值范圍;
          (3)設(shè)函數(shù)h(x)=-lnf(x)-ln(x+m),常數(shù)m∈Z,且m>1,試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e-m-m,e2m-m]內(nèi)的零點個數(shù),并作出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,則
          f2(1)+f(2)
          f(1)
          +
          f2(2)+f(4)
          f(3)
          +
          f2(3)+f(6)
          f(5)
          +
          f2(4)+f(8)
          f(7)
          =
          24.
          24.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•珠海二模)已知函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x≥1時,f(x)=f(x-1);當(dāng)x<1時,f(x)=2x,則f(log27)=( 。

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          同步練習(xí)冊答案