Question

已知函數(shù)f（x）滿足f(x)=x3+f ′(

2

3

)x2-x+C（其中f ′(

2

3

)為f（x）在點(diǎn)x=

2

3

處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求常數(shù)C．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后將x=

2

3

代入即可求出f'（

2

3

），從而求出f（x）的解析式，求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)第一問可求出函數(shù)f（x）的極大值與極小值，方程f（x）=0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于[f（x）]_極大值=0或[f（x）]_極小值=0，即可求出常數(shù)C的值．

解答：解：（1）由f(x)=x3+f ′(

2

3

)x2-x+C，得f ′(x)=3x2+2f ′(

2

3

)x-1．
取x=

2

3

，得f ′(

2

3

)=3×(

2

3

)2+2f ′(

2

3

)×(

2

3

)-1，解之，得f ′(

2

3

)=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+C．（2分）
從而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)，
列表如下：

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞ ， -

1

3

)和（1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

1

3

 ， 1)．
（2）由（1）知，[f(x)]極大值=f(-

1

3

)=(-

1

3

)3-(-

1

3

)2-(-

1

3

)+C=

5

27

+C；
[f（x）]_極小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于[f（x）]_極大值=0或[f（x）]_極小值=0．
∴常數(shù)C=-

5

27

或C=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力和分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．