Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點，以線段F₁F₂為邊作正三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（　　）

• A、4+2

  2

• B、

  3

  -1
• C、

  3 +1

  2

• D、

  3

  +1

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線方程求得焦點坐標的表達式，進而可求得三角形的高，則點M的坐標可得，進而求得其中點N的坐標，代入雙曲線方程求得a，b和c的關(guān)系式化簡整理求得關(guān)于e的方程求得e．

解答：解：依題意可知雙曲線的焦點為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∴F₁F₂=2c
∴三角形高是

3

c
M（0，

3

c）
所以中點N（-

c

2

，

3

2

c）
代入雙曲線方程得：

C2

4a2

-

3c2

4b2

=1
整理得：b²c²-3a²c²=4a²b²
∵b²=c²-a²
所以c⁴-a²c²-3a²c²=4a²c²-4a⁴
整理得e⁴-8e²+4=0
求得e²=4±2

3

∵e＞1，
∴e=

3

+1
故選D

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學生對雙曲線的基礎(chǔ)知識的把握．