Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足關(guān)系式，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)遞推公式，計(jì)算即可．
（2）是個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，將從分母有理化，放縮兩個(gè)角度適當(dāng)變形，考慮正負(fù)相消，使兩端和式出現(xiàn)命題中的形式．
解答：解：（Ⅰ）由題意，知，，．…（3分）
（Ⅱ）由，及a₁=2，知a_n＞0．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2滿(mǎn)足，成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，成立，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，.．
下面用分析法證明：．
只需證，只需證，
只需證，只需證，此式顯然成立．
所以成立．從而．
由（1），（2）可知，對(duì)一切k∈N^*，成立．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知，
而


∴
∴
即
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的直接應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法，及放縮法證明不等式．無(wú)法再進(jìn)一步計(jì)算整理，故考慮逐項(xiàng)轉(zhuǎn)化，達(dá)到目的為止．