Question

如圖，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等邊三角形，ABCD是矩形，AB：AD=

2

：1，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（1）求VC與平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度數(shù)；　
（3）當(dāng)V到平面ABCD的距離是3時(shí)，求B到平面VFC的距離．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)G，連接VG，CG．由△ADV為正三角形，知VG⊥AD．由平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，知VG⊥平面ABCD，則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．由此能求出VC與平面ABCD所成的角的大小．
（2）連接GF，則GF=

AG2+AF2

=

3

2

a．而FC=

FB2+BC2

=

6

2

a．在△GFC中，GC²=GF²+FC²．所以GF⊥FC．連接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．由此能求出二面角V-FC-B的度數(shù)．
（3）設(shè)B到平面VFC的距離為h，當(dāng)V到平面ABCD的距離是3時(shí)，即VG=3．此時(shí)AD=BC=2

3

，FB=

6

，FC=3

2

，VF=3

2

．所以S△VFC=

1

2

VF•FC=9，S△BFC=

1

2

FB•BC=3

2

．由V_V-FCB=V_B-VCF，能求出B到面VCF的距離．

解答：解：取AD的中點(diǎn)G，連接VG，CG．
（1）∵△ADV為正三角形，∴VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，
∴VG⊥平面ABCD，
則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．
設(shè)AD=a，則VG=

3

2

a，DC=

2

a．
在Rt△GDC中，GC=

DC2+GD2

=

2a2+ a2 4

=

3

2

a．
在Rt△VGC中，tan∠VCG=

VG

GC

=

3

3

．
∴∠VCG=30°．
即VC與平面ABCD成30°．
（2）連接GF，則GF=

AG2+AF2

=

3

2

a．
而　FC=

FB2+BC2

=

6

2

a．
在△GFC中，GC²=GF²+FC²．
∴GF⊥FC．
連接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，
則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，VG=GF=

3

2

a．
∴∠VFG=45°．
故二面角V-FC-B的度數(shù)為135°．
（3）設(shè)B到平面VFC的距離為h，當(dāng)V到平面ABCD的距離是3時(shí)，
即VG=3．
此時(shí)AD=BC=2

3

，FB=

6

，FC=3

2

，VF=3

2

．
∴S△VFC=

1

2

VF•FC=9，
S△BFC=

1

2

FB•BC=3

2

．
∵V_V-FCB=V_B-VCF，
∴

1

3

•VG•S△FBC=

1

3

•h•S△VFC．
∴

1

3

×3×3

2

=

1

3

•h•9．
∴h=

2

，即B到面VCF的距離為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角的求法，求二面角的度數(shù)求點(diǎn)到平面的距離．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．