Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R），若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上是單調(diào)減函數(shù)，則a²+b²的最小值為

9

5

．

Answer 1

分析：由函數(shù)在區(qū)間[-1，0]上是單調(diào)遞減，得到導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立即f′（-1）≤0且f′（0）≤0代入得到一個不等式組，可以把而a²+b²可視為平面區(qū)域

3-2a+b≤0 b≤0

內(nèi)的點到原點的距離的平方，則由點到直線的距離公式求出即可得到最小值；

解答：解：（1）依題意，f′（x）=3x²+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立．
只需要

f′(-1)≤0 f′(0)≤0

即可，也即

3-2a+b≤0 b≤0

，而a²+b²可視為平面區(qū)域

3-2a+b≤0 b≤0

內(nèi)的點到原點的距離的平方，
由點到直線的距離公式得d²=（

3

5

）²=

9

5

，
∴a²+b²的最小值為

9

5

．
故答案為：

9

5

．

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，理解點到直線的距離公式，理解二元一次不等式組與平面區(qū)域的關(guān)系．