Question

已知二次函數(shù)，且不等式的解集為.
（1）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，求的解析式；
（2）的最小值不大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn).

Answer 1

（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）根據(jù)不等式的解集為得到、為方程的實(shí)根，結(jié)合韋達(dá)定理確定、、之間的等量關(guān)系以及這一條件，然后利用有兩個(gè)相等的實(shí)根得到，從而求出、、的值，最終得到函數(shù)的解析式；（2）在的條件下，利用二次函數(shù)的最值公式求二次函數(shù)的最小值，然后利用已知條件列有關(guān)參數(shù)的不等式，進(jìn)而求解實(shí)數(shù)；（3）先求出函數(shù)的解析式，對(duì)首項(xiàng)系數(shù)為零與不為零進(jìn)行兩種情況的分類(lèi)討論，在首項(xiàng)系數(shù)為零的前提下，直接將代入函數(shù)解析式，求處對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)；在首項(xiàng)系數(shù)不為零的前提下，求出，
對(duì)的符號(hào)進(jìn)行三中情況討論，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出相應(yīng)的零點(diǎn).
試題解析：（1）由于不等式的解集為，
即不等式的解集為，
故、為方程的兩根，且，
由韋達(dá)定理得，，
由于方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，
則，
由于，解得，，，
所以；
（2）由題意知，，，，由于，則有，
解得，由于，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（3）（※）
①當(dāng)時(shí)，方程為，方程有唯一實(shí)根，
即函數(shù)有唯一零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，
方程（※）有一解，令，
得或，，即或，
（i）當(dāng)時(shí)，（（負(fù)根舍去）），
函數(shù)有唯一零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，的兩根都是正數(shù)，
所以當(dāng)或時(shí)，
函數(shù)有唯一零點(diǎn)；
（iii）當(dāng)時(shí)，，，
③方程（※）有二解，
（i）若，，時(shí)，
（（負(fù)根舍去）），函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
；
（ii）當(dāng)時(shí)，，的兩根都是正數(shù)，
當(dāng)或時(shí)，
（i）函數(shù)數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，，恒成立，
所以大于的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
.