Question

已知函數(shù)f(x)=cosx+sin2

x

2

-

3

2

sinx．
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的最大值和最小值；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（B）=0，b=

5

，c=

3

，求a的長度．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式的第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，進(jìn)而得出余弦函數(shù)的值域，可求出函數(shù)的最大值及最小值；
（2）由f（B）=0，得到cos（B+

π

3

）的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值得出B的度數(shù)，進(jìn)而求出cosB的值，再由b和c的值，利用余弦定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：函數(shù)f(x)=cosx+sin2

x

2

-

3

2

sinx
=cosx+

1

2

（1-cosx）-

3

2

sinx
=

1

2

+

1

2

cosx-

3

2

sinx
=

1

2

+cos（x+

π

3

），
∵x∈[0，π]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
則函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為-

1

2

；
（2）∵f（B）=0，
∴

1

2

+cos（B+

π

3

）=0，即cos（B+

π

3

）=-

1

2

，
由B為三角形的內(nèi)角，
得出B+

π

3

=

2π

3

，即B=

π

3

，又b=

5

，c=

3

，
根據(jù)余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即5=a²+3-

3

a，
解得：a=

3 + 11

2

或a=

3 - 11

2

（舍去），
則a的長度為

3 + 11

2

．

點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的值域，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，第一問利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵，第二問根據(jù)f（B）=0，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．