Question

（本小題共14分）

如圖，在四棱柱中，底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，，點(diǎn)，分別在和上，且．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，求的長(zhǎng)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：取，連結(jié)和,

∴，∥，，∥，

∴，∥．∴四邊形為平行四邊形，

∴∥，　 在矩形中，，　 ∴四邊形為平行四邊形．

　 ∴∥，∥．　 ∵平面，平面，

∴∥平面．　　　 ————————4分

（Ⅱ）連結(jié)，在正四棱柱中，

　 平面，　 ∴，，

　 ∴平面，　 ∴．　 由已知，得平面．

　 ∴，，

　 在△與△中， ，，

　 ∴△∽△

∴，．—————————9分

（Ⅲ）以為原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

　　 ．

　　 ，

　　 由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量，

　　 設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

　　 則 ，即 ，

令，所以 ．

　　 ∴，

　　 ∵二面角的平面角為銳角，

　　 ∴二面角的余弦值為． —————————13分