Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（2）=9，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜

1

2

，則f（x）＜x³+

1

2

x的解集為（　�。�

• A、{x|-2＜x＜2}
• B、{x|x＜-2}
• C、{x|x＜-2或x＞2}
• D、{x|x＞2}

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：

分析：令g（x）=f（x）-x³-

1

2

x，從而可得g（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（2）=9，可求得g（2）=0，然后求出不等式的解集即可

解答： 解：∵f（x）＜x³+

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2

x，
∴f（x）-x³-

1

2

x＜0，
令g（x）=f（x）-x³-

1

2

x，
∴g′（x）=f′（x）-3x2-

1

2

，
∵f′（x）＜

1

2

，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上是單調(diào)遞減的，
∵g（2）=f（2）-2³-

1

2

×2=0，
∴g（x）＜0的解集是x＞2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可構(gòu)造函數(shù)，考查所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，屬于中檔題．