Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；     
（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面AMP的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CD的中點(diǎn)E，連接PE、EM、EA，證明PE⊥平面ABCD，從而可得△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形，利用勾股定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）利用V_P-ADM=V_D-PAM，可求D點(diǎn)到平面PAM的距離．

解答：（Ⅰ）證明：取CD的中點(diǎn)E，連接PE、EM、EA
∵△PCD為正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

3

∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
∵四邊形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理得EM=

3

，AM=

6

，AE=3
∴EM²+AM²=AE²，∴∠AME=90°
∴AM⊥PM
（Ⅱ）解：設(shè)D點(diǎn)到平面PAM的距離為d，連接DM，則V_P-ADM=V_D-PAM
∴

1

3

S△ADM•PE=

1

3

S△PAM•d
而S△ADM=

1

2

AD•CD=2

2

在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=

6

∴S△PAM=

1

2

AM•PM=3
∴

1

3

×2

2

×

3

=

1

3

×3×d
∴d=

2 6

3

，即點(diǎn)D到平面PAM的距離為

2 6

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．