Question

(本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）在區(qū)間,內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．

函數(shù)在處取得極大值，且．

函數(shù)在處取得極小值，且

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。主要是導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用以及運用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間和極值的綜合試題。

（1）先求解定義域和導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值為該點的切線斜率得到直線方程。

（2）利用求解導(dǎo)數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)為零的點，以及導(dǎo)數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間，并判定極值問題。

解:  （Ⅰ）解：當時，，，………1分

又，則．……… 3分

所以，曲線在點處的切線方程為，

即．……………4分

（Ⅱ）解：

．………6分

由于，以下分兩種情況討論．

（1）當時，令，得到，,

當變化時，的變化情況如下表：

		0		0
		極小值		極大值

所以在區(qū)間,內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)

故函數(shù)在點處取得極小值，且，

函數(shù)在點處取得極大值，且．…10分

（2）當時，令，得到，

當變化時，的變化情況如下表：

		0		0
		極大值		極小值

所以在區(qū)間,內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．

函數(shù)在處取得極大值，且．

函數(shù)在處取得極小值，且．………………14