Question

有下列說(shuō)法：
①S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S_n=n²+n+1，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
②若a＞b且

1

a

＞

1

b

，則a＞0且b＜0；
③已知函數(shù)f（x）=x²-ax-2a，若存在x∈[-1，1]，使f（x）≥0成立，則a＜1；
④在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若acosA=bcosB，則△ABC為等腰直角三角形．
其中正確的有

②

．（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于①，利用數(shù)列前項(xiàng)n和與通項(xiàng)的關(guān)系，計(jì)算出前3項(xiàng)，得到它們不成等差數(shù)列，從而數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列，故①不正確；對(duì)于②，可以利用不等式的基本性質(zhì)加以變形，化簡(jiǎn)整理得到a為正數(shù)且b為負(fù)數(shù)，故②正確；對(duì)于③，根據(jù)不等式有實(shí)數(shù)解，計(jì)算函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值大于或等于0，得到a≤1，故③不正確；對(duì)于④，利用正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合二倍角的正弦公式，得到△ABC為等腰或直角三角形，故④不正確．

解答：解：對(duì)于①，根據(jù)S_n=n²+n+1，得S₁=3，S₂=7，S₃=13，
從而a₁=S₁=3，，a₂=S₂-S₁=7-3=4，a₃=S₃-S₂=13-7=6
因?yàn)榍?項(xiàng)不成等差數(shù)列，所以數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列，故不①正確；
對(duì)于②，∵

1

a

＞

1

b

，
∴

1

a

-

1

b

=

b-a

ab

＞0
又∵a＞b⇒b-a＜0
∴ab＜0⇒a、b一正一負(fù)
因?yàn)閍＞b，所以a為正數(shù)，而b為負(fù)數(shù)，故②正確；
對(duì)于③，已知函數(shù)f（x）=x²-ax-2a，若存在x∈[-1，1]，使f（x）≥0成立，
說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最大值大于或等于0，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象是開口向上的拋物線，所有有：f（-1）≥0或f（1）≥0，
解之得a≤1，故③不正確；
對(duì)于④，在△ABC中，若acosA=bcosB，根據(jù)正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B⇒2A=2B或2A+2B=180°⇒A=B或A+B=90°
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形，故④不正確．
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題借助于判斷命題的真假為載體，著重考查了不等式的基本性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的形狀判斷和等差數(shù)列的判定等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，也是一道綜合題．