Question

（2012•青浦區(qū)一模）定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）判斷并證明f（x）在（0，2）上的單調性，并求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）當λ為何值時，關于x的方程f（x）=λ在[2，6]上有實數(shù)解？

Answer 1

分析：（1）由f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，得f（0）=0．再由最小正周期為4，得到（2）和f（-2）的值．然后求（-2，0）上的解析式，通過在（-2，0）上取變量，轉化到（0，2）上，即可得到結論．
（2）根據(jù)條件把問題轉化為求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域問題即可．

解答：（本題滿分16分） 本題共有2個小題，第1小題滿分（10分），第2小題滿分（6分）．
解：（1）f（x）在（0，2）上為減函數(shù)．                         …（2分）
證明如下：設0＜x₁＜x₂＜2
則2x1-2x2＜0，1-2x1+x2＜0，（4x1+1）（4x2+1）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，2）上為減函數(shù)．                 …（4分）
當-2＜x＜0時，0＜-x＜2，f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

又f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

．，…（6分）
當x=0時，由f（-0）=-f（0）⇒f（0）=0                     …（7分）
∵f（x）有最小正周期4，∴f（-2）=f（-2+4）=f（2）⇒f（-2）=f（2）=0…（9分）
綜上，f（x）=

2x 4x+1               0＜x＜2 0                        x=0，±2 - 2x 4x+1             -2＜x＜0

（2）f（x）周期為4的周期函數(shù)，關于方程f（x）=λ在[2，6]上有實數(shù)解的λ的范圍即為求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．                 …（11分）
當x∈（0，2）時由（1）知，f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，
∴

4

17

=f（2）＜f（x）＜f（0）＜

1

2

，
當x∈（-2，0）時，f（x）∈（-

1

2

，-

4

17

）          …（13分）
當x∈{-2，0，2}時，f（x）=0                  …（14分）
∴f（x）的值域為（-

1

2

，-

4

17

）∪{0}∪（

4

17

，

1

2

）      …（15分）
∴λ∈（-

1

2

，-

4

17

）∪{0}∪（

4

17

，

1

2

）時方程方程f（x）=λ在[2，6]上有實數(shù)解．…（16分）

點評：本題主要考查如何利用求對稱區(qū)間上的解析式，特別注意端點問題，還考查了用定義證明單調性求分段函數(shù)值域問題．