Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+1）（e為自然對數(shù)的底，a∈R為常數(shù)）．對于函數(shù)h（x）和g（x），若存在常數(shù)k，m，對于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，則稱直線y=kx+m是函數(shù)h（x），g（x）的分界線．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a=1，試探究函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=-x²+2x+1是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x），然后討論a與0的大小關(guān)系，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）假設(shè)存在，則e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，令x=0，求出m的值，從而kx+1≥-x²+2x+1恒成立，轉(zhuǎn)化成-x²+（k-2）x≥0恒成立，利用判別式即可求出k的值，然后只要判斷e^x（x+1）≥2x+1是否恒成立即可．

解答：解：（1）f'（x）=a^x（ax+1+a），（1分）
當a＞0時，f'（x）＞0?ax＞-a-1，即x＞-1-

1

a

，
函數(shù)f（x）在區(qū)間(-1-

1

a

，+∞)上是增函數(shù)，
在區(qū)間(-∞，-1-

1

a

)上是減函數(shù)；（3分）
當a=0時．f'（x）＞0，函數(shù)f（x）是區(qū)間（-∞，+∞）上的增函數(shù)；（4分）
當a＜0時，f'（x）＞0?ax＞-a-1即x＜-1-

1

a

，
函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，-1-

1

a

)上是增函數(shù)，在區(qū)間(-1-

1

a

，+∞)上是減函數(shù)．（6分）
（2）若存在，則e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，
令x=0，則1≥m≥1，所以m=1，（8分）
因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即-x²+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，
現(xiàn)在只要判斷e^x（x+1）≥2x+1是否恒成立，（10分）
設(shè)?（x）=e^x（x+1）-（2x+1），因為：?'（x）=e^x（x+2）-2，
當x＞0時，e^x＞1，x+2＞2，?'（x）＞0，
當x＜0時，e^x（x+2）＜2e^x＜2，?'（x）＜0，
所以?（x）≥?（0）=0，即e^x（x+2）≥2x+1恒成立，
所以函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=-x²+2x+1存在“分界線”．（13分）

點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力．