Question

在直角坐標(biāo)平面xOy中，橢圓E：

x2

4

+y²=1的左頂點為A，下頂點為B．
（1）求圓心在y軸上且過兩點A，B的圓方程；
（2）過點A作直線l交橢圓于點P，交y正半軸于點C，若△OAP與△OCP的面積相等，求直線l的斜率k．

Answer 1

分析：（1）橢圓E：

x2

4

+y²=1的a=2，b=1，c=

3

，得出左頂點和下頂點，線段AB的垂直平分線與y軸的交點即圓心在y軸上且過兩點A，B的圓的圓心坐標(biāo)為（0，0），從而得出圓的半徑，最后寫出圓心在y軸上且過兩點A，B的圓方程．
（2）根據(jù)△OAP與△OCP的面積相等，得到P是線段AC的中點，設(shè)C（0，2n），則P（1，n）代入橢圓的方程得C的坐標(biāo)，利用斜率得出直線l的斜率即可．

解答：解：（1）∵橢圓E：

x2

4

+y²=1的
a=2，b=1，c=

3

，
∴左頂點為A（-2，0），下頂點為B（0，-1）．
線段AB的垂直平分線的方程為：y-（-

1

2

）=2（x+1）
令x=0得它與y軸的交點坐標(biāo)為（0，

3

2

），
即圓心在y軸上且過兩點A，B的圓的圓心坐標(biāo)為（0，

3

2

），
故其半徑r=1+

3

2

=

5

2

，
∴圓心在y軸上且過兩點A，B的圓方程：x²+（y-

3

2

）²=

25

4

；
（2）∵△OAP與△OCP的面積相等，
∴P是線段AC的中點，
設(shè)C（0，2n），則P（-1，n）代入橢圓的方程得：

1

4

+n 2=1，又點A作直線l交橢圓于點P，交y正半軸于點C，故n=

3

2

，
∴C（0，

3

），又A（-2，0），
直線l的斜率k=

3 -0

0-(-2)

=

3

2

．

點評：本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)、直線的斜率等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．